光设内参·基于Alvarez透镜的微型变焦光学系统的研究与设计

传统的光学变焦系统中，透镜通过沿光轴运动来改变系统的焦距并保持像面位置不变，这种变焦方式需要相对较大的位移和系统长度，所以并不适合应用在小型化设备中。

目前适用于微型变焦系统的解决方法主要有两种，一种是通过改变透镜材料的折射率或折射率分布；另一种是通过改变透镜表面形状来实现焦距变化，如液体透镜[1]。

1967年Alvarez在他的专利[2]中提出了一种非旋转对称光学结构，之后罗曼又对这一结构进行了改进[3]，这是一种用三次XY多项式描述的自由曲面系统，它的焦距是通过两个镜片的横向相对位移决定的，如图1所示。

 图1 Alvarez透镜横向相对位移示意图

Alvarez的专利起初应用于制造一种焦距可变眼镜以矫正老花眼，实现屈光度3D的变化范围[2]。但由于加工制造技术不够先进，在很长一段时间内这种自由曲面透镜都没有得到很好的应用。

近年来，随着加工技术的成熟，利用Alvarez透镜的光学系统得到了很好的发展和应用。Hossein等人结合了Alvarez透镜和Google Glass结构，用于人眼的视力校正[4]。Luo等人提出了一种新型的全景环形透镜，利用Alvarez透镜可使成像区域进一步放大，并减小了系统体积[5]。

Babington将Alvarez透镜应用在中波红外成像系统[6]，并对其中自由曲面的高阶像差理论做了进一步修正。新加坡的Zou等人也研制出了直径约2mm的内窥镜光学器件[7]，该系统实现了3倍变焦功能，横向位移只有110µm。上述系统设计足以证明Alvarez透镜在变焦光学系统中得到了广泛的应用，尤其在微型光学系统中具有举足轻重的作用。

根据Alvarez的专利[2]所描述的结构看，它是由两个薄透镜元件串联组成的。当透镜工作时，其中至少一个元件在垂直于光轴的方向上移动，实现焦距的改变。每个元件的表面形状用笛卡尔坐标系可以描述为：

在不改变透镜光学性质的情况下，为了得到更薄的透镜元件，在原本的描述方程中减去一个楔形量，从而得到两个元件的厚度方程：

其中A、D、E均为常数，D为减去的楔形量的因子，E可以确保透镜元件最薄的部分有足够的机械强度。可以明显地看出，当两个元件组合且不发生相对位移时，也就是t₁+t₂，组合透镜的效果相当于一块平行平板玻璃，对光线没有偏转能力，如图2（a）所示。

当两个元件分别往相反方向移动相同的距离d时，t₁和t₂会发生变化，可以用下面两式来表达：

组合透明的厚度为：

其中-2Ad(x²+y²)可以表示为一个正光焦度的球面，其光焦度与Ad成正比，其他的各项都与XY无关。所以明显看出，在薄透镜理论中，组合透镜是一个完美的球面镜。

上述位移方式所形成的球面镜为正光焦度，如图2（b）所示，如果位移方向相反，则会形成负光焦度透镜，如图2（c）所示。

 图2 （a）中间位置的组合透镜；（b）正光焦度时的组合透镜；（c）负光焦度时的组合透镜

我们还可以从组合透镜厚度公式中看出，A的取值决定了在d位移时光焦度的变化范围，并且组合透镜等价的球面镜焦距为：

其中n为透镜材料的折射率。

根据高斯公式[8]，即可对理想可变焦透镜的一些条件进行讨论。如图3所示的光学结构，假设f1′和f2′其中一个是变焦透镜，另一个是固定焦距透镜。物距–l1=l，两个透镜之间距离为m，后截距l2′=n。

 图3 理想可变焦透镜结构

根据高斯公式对两个透镜有如下方程组：

当f1′为变焦透镜时，求得：

因为f2′不随其他参数变化，所以对f2′求导得：

同样的，当f2′为变焦透镜时得：

对f1′求导得：

由此看出，只有当l或n为零时才能成立，显然物距l和后截距n不可能为零，所以采用一个变焦透镜是无法满足相面保持不动的条件的。

如果用到两片变焦透镜，下面来分析它的可行性，列出高斯公式：

在一般情况下，l1、m、l2′都为已知量，所以求解可以得到f2′和f′关于f1′的方程：

如此证明了在本文的光学系统中，至少需要两片Alvarez透镜来实现变焦透镜功能。

当确定了光学系统的结构之后，可以得到如图4所示的理想变焦光学系统示意图。它包含两个排列在光轴上的薄透镜F1和F2，位置固定间隔距离m，焦距f1和f2可变，图像探测器距离可变透镜F2的长度是n，物体距离变焦透镜系统的距离l。

利用近轴光线追迹的方法追迹一条从轴上物点出发的光线，最终成像在CMOS上，最终可以推导出广角端和摄远端两重结构，如图5所示，并简化了系统焦距公式：

 图4 理想变焦光学系统示意图

 图5 理想光学系统结构图。（a）广角端结构图；（b）摄远端结构图

在设计成像光学系统之前，必须选择系统在像面所用到的图像传感器。目前市场上的传感器有两大类：CCD和CMOS。他们采用的原理大致相同，都是利用感光二极管作为影像捕获的元件。

该元件在受到光照时会将光能转换成电能输出，且电流的强度和光照强度成正相关。表1为系统的技术参数。

表1 光学系统的技术参数

在搭建初始结构时，选定m=n=9mm作为初始值，根据推导出的焦距公式可以获得初始结构需要的数据，在CODE V中搭建出初始结构，如图6所示。

 图6 变焦系统初始结构图。（a）广角端的初始结构；（b）摄远端的初始结构

由于该系统为自由曲面系统，所以在分析成像质量时不仅要考虑x轴和y轴两个方向上的成像质量，还需要选择像面上其余方向的点进行分析。

此处选择了像面上13个位置，如图7所示，其中黑点表示取样点。并对这些取样点进行了点列图的分析，如图8（a）（b）所示。在取样的像点中，广角端的弥散斑大部分在5.5µm以内，最大弥散斑大小为7.088µm，最小弥散斑大小为3.287µm；摄远端的弥散斑大部分在6.5µm以内，最大弥散斑大小为8.514µm，最小弥散斑大小为2.711µm。

优化后，两重结构的弥散斑大小与之前的设计相比，有了明显的缩小。虽然弥散斑的大小还是大于艾里斑，但总体来说，已经非常接近理想光学系统的标准，在可接受范围内。

 图7 像面上取样的点示意图

 图8 优化后系统的点列图。（a）广角端点列图；（b）摄远端点列图

图9为系统优化后取样点的MTF图，从图8（a）中可以看出，在100lp/mm处，各视场的MTF都在0.2以上，达到了一个比较好的效果，说明广角端的成像清晰度和对比度都已经达到了设计的要求；从图4.12（b）中可以看出，在100lp/mm处，各视场的MTF也都在0.2以上，同样达到了一个比较好的效果，两个结构的MTF均达到了设计的要求。

 图9 优化后系统的MTF。（a）广角端MTF；（b）摄远端MTF

图10展示了两重结构的二维仿真图。广角端和摄远端的二维仿真图清晰度较好，图像边缘也较锐利，说明整体的成像质量和分辨率较好，但在广角端的有较大的桶形畸变。

 图10 二维仿真图。（a）原始图；（b）广角端的仿真效果图；（c）摄远端的效果仿真图

近年来微型摄像头领域受到了越来越多的关注，尤其是对手机摄像头的研究更是成为了热点。本文正是在这样的背景下，对于微型变焦光学系统进行了研究，其中采用Alvarez透镜实现变焦功能。与传统实现变焦功能的方式不同，该透镜通过横向微小位移就可以实现焦距的变化，拥有体积小、变倍比高的特点，因此非常适合应用手机、小型相机、监控摄像头、无人机等小型光学设备中。

参考文献

[1] Zhou G, Yu H, Chau F S. Microelectromechanically-driven miniature adaptive Alvarez lens[J]. Optics Express, 2013, 21(1):1226.

[2] Alvarez L W. Two-element variable-power spherical lens[P]. US, 3305294, 1967-02-21.

[3] Lohman A W. A New Class of Varifocal Lenses[J]. Applied Optics, 1970, 9(7): 1669-1671.

[4] Hossein S, Todd N, Nicholas S, et al. See-through smart glass with adjustable focus[J]. SPIE Photonics Europe, 2018.

[5] Luo Y, Bai J, Yao Y. Design of varifocal panoramic annular lenses based on Alvarez surfaces[C]. Optical Design and Testing VI. International Society for Optics and Photonics, 2014.

[6] Babington J. Alvarez lens systems: theory and applications[C]. SPIE Optical Systems Design. International Society for Optics and Photonics, 2015.

[7] Zou Y, Song C F, Zhou G. Ultra-compact optical zoom endoscope using solid tunable lenses[J]. Optics Express, 2017, 25(17): 20675.

[8] 李林. 应用光学[M]. 北京: 北京理工大学出版社, 2010: 37-39.